Définition
\(\triangleright\) Définition des opérateurs pairs et impairs
Soit \(\hat B\) un opérateur.
$$\tilde B=\hat \Pi\hat B\hat \Pi$$
On dit que \(\tilde B\) est le transformé de \(\hat B\) par parité- \(\tilde B={{+\hat B}}\): \(\hat B\) est un opérateur pair
- \(\tilde B={{-\hat B}}\): \(\hat B\) est un opérateur impair
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés des opérateurs pairs
Si \(\hat B\) est pair: \(\hat B=\hat \Pi\hat B\hat \Pi\implies {{[\hat B,\hat \Pi]=0}}\)
Cela implique que les fonctions propres de \(\hat B\) sont soit pairs soit impairs mais pas une combinaison des deux.
Exemple
- Opérateur de position
$$\hat \Pi \hat X \ket{}\vec r=\hat \Pi\hat X\ket{xyz}=\hat \Pi x\ket{xyz}=x\ket{-\vec r}$$
$$\hat X\hat\Pi\ket{\vec r}=$$
$$\implies (\hat \Pi\hat X+\hat X\hat \Pi)\ket{\vec r}=0$$
\(\hat X\) est impair
- Opérateur énergie potentielle \(\hat V(\vec {\hat R})\)
Par la correspondance \(\underbrace{V(\vec r)}_{classique} \to \hat V(\vec{\hat R})\)
Si \(V(\vec r)\) est pair alors l'opérateur \(\hat V(\vec{\hat R})\) sera pair (\(\hat H\) pair)
Si \(V(\vec r)\) est impair alors l'opérateur \(\hat V(\vec{\hat R})\) sera impair (\(\hat H\) parité inconnu)
